sexta-feira, 8 de agosto de 2008

Paradoxo de São Petersburgo

Chama-se valor esperado ou esperança matemática (E) ao produto de uma grandeza (n) pela probabilidade de adquiri-la (p):
E = n.p
Quando há várias grandezas, cada uma com probabilidades diferentes, o valor esperado será a soma dos produtos de cada grandeza pela respectiva probabilidade.
E = n1.p1 + n2.p2 +... ni.pi +...
Por exemplo: se em um jogo de cara ou coroa, a possibilidade de ocorrer "cara" é de 1/2, a possibilidade de ocorrer "cara-cara" é 1/4, a possibilidade de ocorrer "cara-cara-cara" é 1/8. Suponhamos que você recebesse R$ 1,00 (um real) para cada vez que ocorresse "cara", e que o jogo terminasse logo após a primeira "coroa". Qual valor você esperaria receber?
O "valor esperado" (E) seria:
E = 1 x 1/2 + 2 x 1/4 + 3 x 1/8 + ...
= 1/2 + 2/4 + 3/8 + ...
Essa série converge para 2.
E = 2
Embora você não saiba quantas vezes vai ocorrer "cara", deve esperar receber apenas dois reais (R$ 2,00).
Suponhamos agora, que o valor a ser pago a cada ocorrência de "cara" não seja fixo (apenas um real por acerto), mas que vá duplicando ao longo do jogo.
Assim, ao ocorrer a primeira "cara" você receberia R 1,00. Ao ocorrer "cara-cara", você receberia R$ 2,00. Ao ocorrer "cara-cara-cara", você receberia R$ 4,00... e assim por diante.
Qual seria o valor esperado? Certamente você não deve esperar receber infinitos reais.
Vejamos, porém, o cálculo de E:
E = 1 x 1/2 + 2 x 1/4 + 4 x 1/8 + 8 x 1/16 + ...
= 1/2 + 1/2 + 1/2 + 1/2 + ...
= infinito
A série, composta de infinitas parcelas iguais a 1/2, diverge.
Por que isso acontece? Por que o prêmio reservado para o sucesso cresce de maneira proporcional ao decréscimo da probabilidade do evento.
Embora devêssemos esperar um E bastante modesto, a fórmula nos traz um E infinito.
Este paradoxo é conhecido como "paradoxo de São Petersburgo".

Como resolver esse problema?
A fórmula E = n.p foi convenientemente inventada?
Convém esperar sempre o produto da grandeza pela sua probabilidade?
Ou será que, no par (grandeza, probabilidade) deveríamos dar um peso maior à probabilidade?




quinta-feira, 7 de agosto de 2008

Um editor de texto para cálculo literal

Os computadores facilitaram muito o cálculo numérico. No entanto, sinto dificuldade em encontrar um programa que lide com cálculo literal.
Suponha que você tenha a seguinte função:

f(x)=ax5+bx4+cx3+dx2+ex+f

Note que escrever os expoentes como caracteres sobrescritos já é um problema não facilmente solucionável pelos editores de texto moderno.

Suponha agora que você queira calcular a função h(x), tal que h(x)=f(x-1).x

Isso significa que será necessário desenvolver o seguinte polinômio:

h(x)= [a(x-1)5+b(x-1)4+c(x-1)3+d(x-1)2+e(x-1)+f].x

Como seria bom se, com um clique do "mouse", um editor de textos desenvolvesse cada uma das potências do binômio (x-1), gerando automaticamente o seguinte resultado:

h(x)=[a(x5-5x4+10x3-10x2+5x-1)+b(x4-4x3+6x2-4x+1)+c(x3-3x2+3x-1)+d(x2-2x+1)+e(x-1)+f].x

E como seria bom se, em seguida, o programa eliminasse os parênteses dentro dos colchetes, dando origem a:

h(x)=[ax5-5ax4+10ax3-10ax2+5ax-a+bx4-4bx3+6bx2-4bx+b+cx3-3cx2+3cx-c+dx2-2dx+d+ex-e+f].x

Imagine agora se o programa somasse os termos semelhantes em x5, x4, x3, x2, x dentro dos colchetes:

h(x)=[ax5+(-5a+b)x4+(10a-4b+c)x3+(-10a+6b-3c+d)x2+(5a-4b+3c-2d+e)x+(-a+b-c+d-e+f)].x

Imagine que, por fim, ele eliminasse também os colchetes, dando o resultado final:

h(x)=ax6+(-5a+b)x5+(10a-4b+c)x4+(-10a+6b-3c+d)x3+(5a-4b+3c-2d+e)x2+(-a+b-c+d-e+f)x

Obviamente, as tarefas supracitadas não estão acima da capacidade dos computadores nem da dos programadores. E são tarefas utilíssimas, que poupariam enorme trabalho braçal e evitariam numerosos erros tantas vezes cometidos por pura distração.

Custo a crer que ninguém tenha sentido a necessidade de um editor para cálculo literal. E ainda reluto em crer que ninguém tenha ousado fazer um programa semelhante.


Conclamação - Todos em oração.

(baixe o vídeo em https://drive.google.com/open?id=1u7P0EdF03xn0o2zvJyS088xxNZtTTTcu) [https://www.youtube.com/watch?v=_NeeFPa7Lus] ...