Paradoxo de São Petersburgo

Chama-se valor esperado ou esperança matemática (E) ao produto de uma grandeza (n) pela probabilidade de adquiri-la (p):
E = n.p
Quando há várias grandezas, cada uma com probabilidades diferentes, o valor esperado será a soma dos produtos de cada grandeza pela respectiva probabilidade.
E = n1.p1 + n2.p2 +... ni.pi +...
Por exemplo: se em um jogo de cara ou coroa, a possibilidade de ocorrer "cara" é de 1/2, a possibilidade de ocorrer "cara-cara" é 1/4, a possibilidade de ocorrer "cara-cara-cara" é 1/8. Suponhamos que você recebesse R$ 1,00 (um real) para cada vez que ocorresse "cara", e que o jogo terminasse logo após a primeira "coroa". Qual valor você esperaria receber?
O "valor esperado" (E) seria:
E = 1 x 1/2 + 2 x 1/4 + 3 x 1/8 + ...
= 1/2 + 2/4 + 3/8 + ...
Essa série converge para 2.
E = 2
Embora você não saiba quantas vezes vai ocorrer "cara", deve esperar receber apenas dois reais (R$ 2,00).
Suponhamos agora, que o valor a ser pago a cada ocorrência de "cara" não seja fixo (apenas um real por acerto), mas que vá duplicando ao longo do jogo.
Assim, ao ocorrer a primeira "cara" você receberia R 1,00. Ao ocorrer "cara-cara", você receberia R$ 2,00. Ao ocorrer "cara-cara-cara", você receberia R$ 4,00... e assim por diante.
Qual seria o valor esperado? Certamente você não deve esperar receber infinitos reais.
Vejamos, porém, o cálculo de E:
E = 1 x 1/2 + 2 x 1/4 + 4 x 1/8 + 8 x 1/16 + ...
= 1/2 + 1/2 + 1/2 + 1/2 + ...
= infinito
A série, composta de infinitas parcelas iguais a 1/2, diverge.
Por que isso acontece? Por que o prêmio reservado para o sucesso cresce de maneira proporcional ao decréscimo da probabilidade do evento.
Embora devêssemos esperar um E bastante modesto, a fórmula nos traz um E infinito.
Este paradoxo é conhecido como "paradoxo de São Petersburgo".

Como resolver esse problema?
A fórmula E = n.p foi convenientemente inventada?
Convém esperar sempre o produto da grandeza pela sua probabilidade?
Ou será que, no par (grandeza, probabilidade) deveríamos dar um peso maior à probabilidade?




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